Нахождение собственных значений и векторов

Метод А.M. Данилевского

Метод неопределенных коэффициентов

Метод Леверрье

Введение

Рассматриваемые здесь алгоритмы предназначены для поиска собственных значений матрицы A, т.е. вычисления корней характеристического уравнения .

Проблема нахождения соответствующих собственных векторов является более простой, так как если корни характеристического уравнения известны, то задача сводится к отысканию ненулевых решений некоторых однородных линейных систем. Для этого достаточно вычесть из матрицы A единичную матрицу, умноженную на найденное собственное число, а затем найти фундаментальную систему решений для системы (A-lambda*E)x = 0. Так как система вырожденная, то для поиска надо использовать указанный специализированный алгоритм.

Основной прием использующийся при отыскании собственных значений матрицы это развертывание определителя в полином n-ой степени. Отыскание же корней полученного полинома является отдельной, отнюдь не тривиальной задачей. Здесь могут пригодится методы из раздела Полиномиальные и трансцендентные уравнения.

Следует заметить, что попытка решения задачи развертывания определителя в полином "в лоб", требует значительных вычислений, и весьма трудоемка. Нетрудно показать, что непосредственное вычисление коэффициентов характеристического полинома эквивалентно вычислению 2 ⁿ-1 определителей различных порядков.

Из приведенных здесь методом наилучшую скорость при больших n показывает метод Данилевского. С другой стороны, метод Данилевского сложен и требует некоторой настройки (передачи малого числа epsilon, зависящего от задачи), а метод Леверрье прост и в такой настройке не нуждается благодаря тому, что не содержит операций деления на неизвестные. Таким образом, если скорость не является критической, для поиска коэффициентов характеристического полинома лучше всего пользоваться методом Леверрье.

Метод же неопределенных коэффициентов приведен скорее в познавательных целях, чем для практического применения, т.к. он не только слишком медленно работает, но и дает слишком большие погрешности даже при умеренных n (матрица системы, как правило, плохо обусловлена).

Если нашли ошибку в алгоритме - сообщите!

Бочканов Сергей, Быстрицкий Владимир
Copyright © 1999-2004
При поддержке проекта MANUAL.RU