Задача g6_1067: Метро (Белорусская олимпиада по информатике 2002)

В некотором городе есть метро, состоящее из N (1 <= N <= 1000) станций и M линий, соединяющих их. Каждая линия обеспечивает проезд между какими-то двумя станциями в обе стороны. Между любой парой станций проведено не более одной линии. Сеть метро построена таким образом, чтобы с каждой станции можно было проехать на каждую (возможно, через промежуточные станции). Назовем это свойство связностью метро.
В связи с изобретением принципиально нового вида транспорта метро стало убыточным, и его работу решили прекратить. На заседании мэрии города было постановлено закрывать каждый год по одной станции, но так, чтобы связность метро каждый раз сохранялась. При закрытии какой-либо станции, линии, ведущие из этой станции в другие, естественно, тоже перестают функционировать.
Задание. По введенной информации о сети метро разработать какой-либо порядок закрытия станций, при котором метро всегда будет оставаться связным. Например, пусть метро выглядит так, как показано на рисунке. Тогда станции можно закрывать, например, в порядке 1, 2, 4, 3, 5. А порядок 3, 1, 2, 4, 5 - не подходит, так как после закрытия 3-й станции метро распадется на четыре не связных между собой части.

Ввод. Первая строка входного файла будет содержать числа N и M. В следующих M строках находится информация о линиях. Каждая из этих строк содержит через пробел числа Ai и Bi (Ai Bi) - две станции, которые соединяет i-я линия.
Вывод. Выходной файл должен состоять из N строк. Каждая строка должна содержать одно число - номер станции. Вывести станции нужно в порядке их закрытия.

Пример
input.txt
5 4
3 1
3 2
3 4
3 5
output.txt
1
2
4
3
5

Решение g6_1067:
Сначала я вспомнил самарское метро и решил, что эта задача очень похожа на #1063 - Михаил Густокашин против бюрократии. Но потом я вспомнил московское метро (кольцевую линию) и понял, что этот метод не пройдет. По крайней мере не пройдет с теми входными данными, которые нам даны.
Перед тем, как воспользоваться алгоритмом из той задачи надо преобразовать данный нам граф в его остовное дерево. Остовным деревом графа называется правильное дерево, включающее все вершины графа. Его несложно сгенирировать воспользовавшись поиском в графе в глубину.
Заведем две таблицы смежности - одну для данного графа, другую для остовного дерева. Запустим рекурсивную процедуру посика в глубину, она будет выглядеть примерно так:
1) помечаем, что данная вершина входит в дерево.
2) для всех вершин, смежных с данной, но еще не включенных в дерево, запускаем рекрсивную процедуру поиска в глубину.
3) для всех вершин, для которых мы запускали рекурсивную процедуру поиска в глубину, в таблице смежности для остовного дерева отмечаем наличие ребра между данной вершиной и вершиной, для которой мы запускали рекрсивную процедуру.
Вот вроде бы и вся процедура, работает она за O(n^2). Теперь у нас есть дерево, будем отрезать его листья и трансормировать ветки в листья, при необходимости.
Пройдем по всем вершинам дерева и найдем те из них, которые имеют только одно ребро. Удалим эту вершину, а также отметим отсутствие данного ребра в таблице смежности. Выведем номер удаленной вершины. Будем повторять этот процесс, да тех пор, пока не останется единственная вершина - выведем ее номер. Сложность этого алгоритма O(n^3), при максимальном значении n - 10^9 - достаточно большая, но если применить некоторые оптимизации, то программа будет отлично укладываться во временные рамки.