1. ПЕРЕМЕННЫЕ, ВЫРАЖЕНИЯ, ПРИСВАИВАНИЯ.При написании фрагментов программ использовались основные конструкции языка Turbo Pascal
(ветвления, циклы).1.1 ЗАДАЧИ БЕЗ МАССИВОВ.
Задача 1.
Дано число а и натуральное число n.
Вычислить аn (a в степени n).Решение:
k:=0;b:=1;Другое решение этой задачи:
while k<>n do
begin
k:=k+1; b:=b·a;
end;k:=n;b:=1;Число выполняемых операторов присваивания равно n.
while k<>0 do
begink:=k-1;end;
b:=b·a;Задача 2.
Решить предыдущую задачу, если требуется, чтобы число действий (выполняемых операторов присваивания) было порядка log2 n (то есть не превосходило бы C(log2 n, где С -константа, log2 n - это степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить n).Решение:
k:=n;b:=1;c:=a;За каждые два вхождения в цикл значение переменной k уменьшается по крайней мере вдвое. В цикле выполняется 2 операции присваивания. Поэтому общее число действий не превосходит 4·log2 n.
while k<>0 do
beginif k mod 2=0end;
then
begin k:=k div 2; c:=c·c; end
else
begin k:=k-1; b:=b·c; end;Задача 3.
Дано натуральное число n, вычислить n! (1!=1, n!=n((n-1)!).Решение:
k:=n;b:=1;Задача 4.
while k<>0 do
beginb:=b·k;end;
k:=k-1;
Дано натуральное n, вычислить 1/1!+...+1/n! так, чтобы число операций (выполняемых команд присваивания) было бы порядка n (не более C·n для некоторой константы С).Решение:
Важно не вычислять заново каждый раз n!.
n!=1·2·3·...·(n-1)·n=(n-1)!·n. В нашем примере 1/n!=1/((n-1)!·n), т.е. каждый j элемент получается делением (j-1)-го элемента на j.k:=1; sum:=0; last:=1; {1/1!}Число выполняемых операций присваивания равно 3·n.
while k<=n do
beginsum:=sum+last;end;
k:=k+1;
last:=last/k;Задача 5.
Даны два натуральных числа а и b, не равные нулю одновременно. Вычислить d=НОД(а,b) - наибольший общий делитель а и b.Решение:
Алгоритм Евклида. Будем считать, что1) НОД(0,0)=0;для всех а,b>=0.
2) НОД(а,b)=НОД(а-b,b)=НОД(а,b-а);
3) НОД(а,0)=НОД(0,а)=а
(см. Основы информатики и вычислительной техники, часть 1, под ред. А.П. Ершова и В.М. Монахова или А.Г. Кушниренко и др. Основы информатики и вычислительной техники)m:=a;n:=b;Задача 6.
while not ((m=0) or (n=0)) doif m>=n then m:=m-n else n:=n-m;if m=0 then d:=n else d:=m;
Даны два натуральных числа а и b, не равные нулю одновременно. Найти d=НОД(а,b) и такие x и y, что d=a·x+b·y.Решение:
Добавим переменные p,q,r,s такие, что m=p·a+q·b, n=r·a+s·b.m:=a; n:=b; p:=1; q:=0; r:=0; s:=1;Задача 7.
while not ((m=0) or (n=0)) doif m>=nif m=0
then
begin m:=m-n; p:=p-r; q:=q-s; end
else
begin n:=n-m; r:=r-p; s:=s-q; end;
then
begin k:=n; x:=r; y:=s; end
else
begin k:=m; x:=p; y:=q; end;
Даны натуральные числа n и k, n>1. Напечатать k десятичных знаков числа 1/n. Программа должна использовать только целые переменные.
Решение:
Сдвинув в десятичной записи числа 1/n запятую на k мест вправо, получим число (10k)/n. Нам надо напечатать его целую часть, то есть разделить 10k на n нацело. Стандартный способ требует использования больших по величине чисел, которые могут выйти за границы диапазона представимых чисел.
Воспользуемся методом "деления уголком" и будем хранить "остаток" r.t:=0; r:=1;Задача 8.
while t<>k do
beginwrite((10·r) div n);end;
r:=(10·r) mod n;
t:=t+1;
Функция f с натуральными аргументами и значениями определена так: f(0)=0, f(1)=1, f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+f(n+1). Составить программу вычисления f(n) по заданному n, требующую порядка log2 n операций (не более C·log2 n).Решение:
Функцию f можно записать в общем виде: f(n)=a(f(k)+b(f(k+1).
Если n - четное, то а=1, b=0 иначе а=1, b=1.
Для k=2m: f(k)=f(m), f(k+1)=f(2m+1)=f(m)+f(m+1). Тогда
f(n)=a·f(k)+b·f(k+1)=a·f(m)+b·(f(m)+f(m+1))=(a+b)·f(m)+b·f(m+1).
Для k=2m+1: f(k)=f(m)+f(m+1), f(k+1)=f(2m+2)=f(2(m+1))=f(m+1).
Тогда f(n)=a·f(k)+b·f(k+1)=a·f(m)+(a+b)·f(m+1).k:=n; a:=1; b:=0;При каждом вхождении в цикл значение переменной k уменьшается вдвое.
while k<>0 doif k mod 2=0
then begin m:=k div 2; a:=a+b; k:=m; end
else begin m:=k div 2; b:=a+b; k:=m; end;{k=0: f(n)=af(0)+bf(1)=b, что и требовалось}
Поэтому число операций не более 3·log2 n.УПРАЖНЕНИЯ:
1. Последовательность Фибоначчи определяется так: a0=0, a1=1, ak=ak-1+ak-2 при k>=2.
Дано n. Вычислить an. Число операций должно быть порядка log2 n.
2. Написать вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения
НОД(2a,2b)=2НОД(a,b)
НОД(2a,b)=НОД(a,b) при нечетном b, использующий лишь деление на 2 и проверку четности. Число действий должно быть порядка log2 n для исходных данных, не превосходящих n.
3. Функция f определена так: f(0)=13, f(1)=17, f(2n+1)=43f(n)+57f(n+1),
f(2n+2)=91f(n)+179f(n+1) при n>=1.