Несколько замечаний

Посмотрим еще раз на использованные нами приемы. Вначале удавалось решить задачу по такой схеме: определяем порядок на подлежащих перечислению объектах и явно описываем процедуру перехода от данного объекта к следующему (в смысле этого порядка). В задаче о кодах Грея потребовалось хранить, помимо текущего объекта, и некоторую дополнительную информацию (направления стрелок). Наконец, в задаче о перечислении перестановок (на каждом шаге допустима одна транспозиция) мы применили такой прием: установили взаимно однозначное соответствие между перечисляемым множеством и другим, более просто устроенным. Таких соответствий в комбинаторике известно много. Мы приведем несколько задач, связанных с так называемыми << числами Каталана>>.

$\scriptstyle{\blacktriangleright}$ 2.6.1. Перечислить все последовательности длины 2n, составленные из n единиц и n минус единиц, у которых сумма любого начального отрезка неотрицательна, т.е. число минус единиц в нем не превосходит числа единиц. (Число таких последовательностей называют числом Каталана; формулу для чисел Каталана см. в следующем разделе.)

Решение. Изображая единицу вектором (1,1), а минус единицу вектором (1,-1), можно сказать, что мы ищем пути из точки (0,0) в точку (n,0), не опускающиеся ниже оси абсцисс.

Будем перечислять последовательности в лексикографическом порядке, считая, что -1 предшествует 1. Первой последовательностью будет << пила>>

1, -1, 1, -1, ...

а последней -- << горка>>

1, 1, 1,..., 1, -1, -1,..., -1.

Как перейти от последовательности к следующей? До некоторого места они должны совпадать, а затем надо заменить -1 на 1. Место замены должно быть расположено как можно правее. Но заменять -1 на 1 можно только в том случае, если справа от нее есть единица (которую можно заменить на -1). После замены -1 на 1 мы приходим к такой задаче: фиксирован начальный кусок последовательности, надо найти минимальное продолжение. Ее решение: надо приписывать -1, если это не нарушит условия неотрицательности, а иначе приписывать 1. Получаем такую программу:

    ...
    type array2n = array [1..2n] of integer;
    ...
    procedure get_next (var a:
    |                     array2n; var last: Boolean);
    | {в a помещается следующая последовательность,
    |  если она есть (при этом last:=false),
    |  иначе last:=true}
    | var k, i, sum: integer;
    begin
    | k:=2*n;
    | {инвариант: в a[k+1..2n] только минус единицы}
    | while a[k] = -1 do begin k:=k-1; end;
    | {k - максимальное среди тех, для которых a[k]=1}
    | while (k>0) and (a[k] = 1) do begin k:=k-1; end;
    | {a[k] - самая правая -1, за которой есть 1;
    |  если таких нет, то k=0}
    | if k = 0 then begin
    | | last := true;
    | end else begin
    | | last := false;
    | | i:=0; sum:=0;
    | | {sum = a[1]+...+a[i]}
    | | while i<>k do begin
    | | | i:=i+1; sum:= sum+a[i];
    | | end;
    | | {sum = a[1]+...+a[k], a[k]=-1}
    | |  a[k]:= 1; sum:= sum+2;
    | | {вплоть до a[k] все изменено,
    | |  sum=a[1]+...+a[k]}
    | | while k <> 2*n do begin
    | | | k:=k+1;
    | | | if sum > 0 then begin
    | | | | a[k]:=-1
    | | | end else begin
    | | | | a[k]:=1;
    | | | end;
    | | | sum:= sum+a[k];
    | | end;
    | | {k=2n, sum=a[1]+...a[2n]=0}
    | end;
    end;`

$\scriptstyle{\blacktriangleright}$ 2.6.2. Перечислить все расстановки скобок в произведении n сомножителей. Порядок сомножителей не меняется, скобки полностью определяют порядок действий. Например, для n=4 есть 5 расстановок:

((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)).

[Указание. Каждому порядку действий соответствует последовательность команд стекового калькулятора, описанного здесь. ] $\blacktriangleleft$

$\scriptstyle{\blacktriangleright}$ 2.6.3. На окружности задано 2n точек, пронумерованных от 1 до 2n. Перечислить все способы провести n непересекающихся хорд с вершинами в этих точках. $\scriptstyle\blacktriangleleft$

$\scriptstyle{\blacktriangleright}$ 2.6.4. Перечислить все способы разрезать n-угольник на треугольники, проведя n-2 его диагонали. $\scriptstyle\blacktriangleleft$

(Мы вернемся к разрезанию многоугольника в разделе о динамическом программировании здесь.)

Еще один класс задач на перечисление всех элементов заданного множества мы рассмотрим ниже, обсуждая метод поиска с возвратами (backtracking).

pvv
1/8/1999