АЛГОРИТМЫ

Новости

Рассылка новостей

Форум

AlgoPascal

Редактор блок-схем

Статьи

О сайте

Контакты

Ортогональные полиномы и метод Кленшоу суммирования функциональных рядов.

Автор:Быстрицкий В.Д.

Данная статья обязана своим появлением письму Вячеслава Андреева, в котором содержалось описания метода Кленшоу суммирования функциональных рядов, а так же давалась интерпретация этого метода для полиномов Чебышева.

Введение

Теория ортогональных многочленов достаточно хорошо развита, получено большое количество систем ортогональных многочленов, некоторые из которых я попытаюсь представить в данной статье, но вначале остановимся более подробно на общих понятиях.

Ортогональными многочленами называется система многочленов {Pn(x)}, заданных на отрезке [a,b], (a и b могут равняться бесконечности) и удовлетворяющих условию:
Причем степень каждого многочлена равна его индексу n, а весовая функция h(x) не отрицательная на отрезке [a,b]. Если h(x) интегрируема по Лебегу, не эквивалентна нулю и в случае бесконечного интервала (a,b) имеет конечные степенные моменты:
то система ортогональных многочленов определяется однозначно.

Для нас важным будет следующие свойство ортонормированных многочленов: 

	Pn+1(x)=(anx+bn)Pn(x)-cnPn-1(x)
именно за счет выполнения данного рекуррентного соотношения при суммирование рядов построенных по системам ортогональных многочленов применим метод Кленшоу.

Ортогональные многочлены используются как базисы функциональных пространств, так же как, например, в евклидовом пространстве используется базис из трех единичных попарно ортогональных векторов.

Всего вышесказанного нам будет достаточно, поэтому мы перейдем к рассмотрению конкретных систем, а тех кто хочет получить дополнительную информацию я отсылаю к соответствующей литературе.

Полиномы Чебышева.

Полиномы Чебышева I-го рода Tn(x) это многочлены ортогональные на отрезке [-1,1] с весовой функцией: 

	h1(x)=(1-x2)-1/2
для стандартизированных полиномов Чебышева справедливы формулы: 
	Tn(x)=cos(n arccos x)
и рекуррентное соотношение: 
	Tn+1(x)=2x Tn(x)-Tn-1(x)
при этом T0(x)=1, T1(x)=x. Если функция f(x) непрерывна на [-1,1] и ее модуль непрерывности w(d,f) удовлетворяет условию Дини: 
	lim w(d,f) ln(1/d)=0, при d стремящемся к 0
то эта функция раскладывается в равномерно сходящийся на отрезке [-1,1] ряд по системе полиномов Чебышева.

Полиномы Чебышева II-го рода Un(x) определяются как, ортогональные многочлены на отрезке [-1,1] с весовой функцией: 

	h2(x)=(1-x2)1/2
или: 
	Un(x)=sin(n arccos x)
Полиномы Чебышева II-го рода Un(x) так же удовлетворяют соотношению: 
	Un+1(x)=2x Un(x)-Un-1(x), U0(x)=1,U1(x)=(1-x2)1/2
При этом многочлен Un имеет наименьшее интегральное отклонение на отрезке [-1,1] среди многочленов степени n с единичным старшим коэффициентом.

На странице, посвященной ортогональным многочленам, представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Чебышева I-го и II-го рода в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Чебышева I-го.

Полиномы Эрмита.

Полиномы Чебышева-Эрмита Hn(x) это многочлены ортогональные на действительной оси с весовой функцией: 

	h(x)=exp(-x2)
Cтандартизированные полиномы Эрмита определяются формулами Родрига:
и удовлетворяют рекуррентному ссотношению 
	Hn+1(x)=2x Hn(x)-2nHn-1(x)
при этом H0(x)=1,H1(x)=2x.

Полиномы Эрмита являются решением дифференциального уравнения: 

	H''n(x)-2zH'n(x)+2nHn(x)=0

На странице, посвященной ортогональным многочленам, представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Эрмита в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Эрмита.

Полиномы Лежандра.

Полиномы Лежандра Pn(x) - многочлены ортогональные на отрезке [-1,1] с единичной весовой функцией h(x)=1. Они определяются формулами:
и удовлетворяют рекурентному соотношению:
при этом P0(x)=1,P1(x)=x.

Функциональные ряды по многочленам Лежандра внутри отрезка [-1,1] аналогичны тригонометрическим рядам Фурье, есть теорема о равносходимости этих двух рядов.

На странице, посвященной ортогональным многочленам, представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Лежандра в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Лежандра.

Полиномы Лагерра.

Полиномы Чебышева-Лагерра Ln(x;a) это многочлены ортогональные на положительной полуоси с весовой функцией: 

	h(x)=xaexp(-xn+a), a > -1
Cтандартизированные полиномы Лагерра определяются формулами:
и удовлетворяют рекурентному соотношению: 
	(n+1)Ln+1(x;a)=(a+2n+1-x)Ln(x;a)-(a+n)Ln-1(x;a)
При этом L0(x)=1,L1(x)=1-x.

Многочлены Лагерра являются решением дифференциального уравнения (уравнения Лагерра): 

	xy''+(a-x+1)y'+ny=0
.

На странице, посвященной ортогональным многочленам, представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Лагерра в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Лагерра.

Метод Кленшоу суммирования функциональных рядов.

Метод Кленшоу предназначен для нахождения суммы функционального ряда вида: 

	Sn(x)=a0(x)Ф1(x)+...+an(x)Фn(x)
в котором функции Фn(x) связаны рекурентным соотношением: 
	Фk(x)-uk(x)Фk-1(x)-vk(x)Фk-2(x)=0
В этом случае сумма ряда получается по формуле: 
	Sn(x)=(a0(x)+v2(x)b2(x))Ф0(x)+b1(x)Ф1(x)
а функции bk(x) определяются последовательно при помощи формул: 
	bk(x)=uk+1(x)bk+1(x)+vk+2(x)bk+2(x)+ak(x), bn+1(x)=bn+2(x)=0

Например, в случае суммы с постоянными коэффициентами по полиномам Чебышева I-го рода: 

	Sn(x)=a0T1(x)+...+anTn(x)
на основании рекуррентного соотношения имеем uk(x)=-2x, vk(x)=1, тогда 
	bk(x)=2xbk+1-bk+2-ak , bn+1=bn+2=0
и Sn(x)=b0-xb1.

Аналогично для случаев других ортогональных многочленов. Поскольку, как мы указывали ранее, все системы ортогональных многочленов удовлетворяют некоторому рекуррентному соотношению 2-го порядка, метод Кленшоу можно применить для произвольной системы.

На странице, посвященной ортогональным многочленам, представлены алгоритмы вычисления сумм функциональных рядов по методу Кленшоу для рассмотренных нами систем ортогональных многочленов.

В заключении приведу сводную таблицу рассмотренных систем ортогональных многосленов.

Название Область задания Весовая функция uk(x) vk(x) W0(x) W1(x)
Полиномы Чебышева I-го рода [-1,1] h(x)=(1-x2)-1/2 -2x 1 1 x
Полиномы Чебышева II-го рода [-1,1] h(x)=(1-x2)1/2 -2x 1 0 (1-x2)1/2
Полиномы Эрмита вся ось h(x)=exp(-x2) -2x 2(k-1) 1 2x
Полиномы Лежандра [-1,1] h(x)=1 -(2k-1)x/k (k-1)/k 1 x
Полиномы Лагерра положительная полуось h(x)=exp(-xn), -(2k-1-x)/k (k-1)/k 1 1-x

 


Бочканов Сергей, Быстрицкий Владимир
Copyright © 1999-2004
При поддержке проекта MANUAL.RU