Системи рівнянь та теорія матриць

Під системою рівнянь (нерівностей) розуміють скінченну кількість рівнянь (нерівностей), для яких потрібно знайти значення змінних, що перетворюють кожне рівняння (нерівність) у правильну числову рівність (нерівність).

Значення змінних, які перетворюють кожне рівняння (нерівність) системи у правильну числову рівність (не­рівність), називають розв'язком системи рівнянь (нерівно­стей). У цьому випадку також говорять, що значення змінних задовольняють кожне рівняння (кожну нерівність) системи. Систему рівнянь (нерівностей), яка має хоча б один розв'язок, називають сумісною. Систему рівнянь (нерівнос­тей), яка не має жодного розв'язку, називають несумісною.

Розв'язати систему рівнянь (нерівностей) означає дослі­дити, сумісна вона чи ні, і, якщо сумісна, знайти всі її розв'язки.

Дві системи рівнянь (нерівностей) називають рівносиль­ними на множині М, якщо множини розв'язків цих сис­тем, що належать множині М, збігаються.

Дві несумісні системи вважають рівносильними. Часто при розв'язуванні задач доводиться мати справу із скінчен­ною кількістю рівнянь (нерівностей), для якої потрібно знай­ти значення змінних, що задовольняють хоча б одне із за­даних рівнянь (одну з нерівностей). У цьому випадку гово­рять про сукупність рівнянь (нерівностей).

Щоб відрізняти систему рівнянь (нерівностей) від сукуп­ності рівнянь (нерівностей), вживають відповідні позначен­ня: фігурну дужку для системи і квадратну дужку для су­купності. Корисно пам'ятати, що система рівнянь (нерівнос­тей) утворює кон'юнкцію рівнянь (нерівностей), тобто рівняння (нерівності) в системі поєднуються сполучником «і», а сукупність рівнянь (нерівностей) утворює диз'юнк­цію рівнянь (нерівностей), тобто рівняння (нерівності) в ній поєднані сполучником «або». Кількість рівнянь у системі чи сукупності не визначається кількістю змінних: кількість рівнянь (нерівностей) системи чи сукупності може дорів­нювати кількості змінних, бути більшою або меншою від цієї кількості.

Методи розв’язування систем рівнянь полягають у зведенні даної системи до простішої, яка їй рівносильна або є її наслідком. Серед основних методів розв’язування рівнянь можна визначити такі: метод підстановки, алгебраїчного додавання, введення нових змінних, графічний.

Якщо матриця має лише один рядок (стовпчик), то вона називається вектором-рядком (вектором-стовпчиком). Матриця, що містить лише один елемент, ототожнюється з цим елементом. Якщо в матриці А  всі елементи є нулями, вона називається нульовою. Матриця А , рядками якої є стовпчики матриці А’  , називається транспонованою по відношенню до матриці A’ . Транспонована матриця позначається спеціальним  символом. Матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків , називається квадратною.

Квадратна матриця , в якої всі діагональні елементи є одиниці, а решта елементів – нулі, називається одиничною.

Дві матриці називаються однотипними, якщо в них кількість рядків та стовпчиків відповідно однакові.

Дві однотипні матриці називаються рівними, якщо в них відповідні елементи рівні.

Сумою (різницею) двох однотипних матриць   і називається матриця, однотипна з даними, а кожний її елемент з сумою (різницею) відповідних елементів даних матриць. 

 Відносно до дій над однотипними матрицями, як і для чисел, залишаються вірними переставний закон додавання двох матриць, сполучний закон додавання для трьох матриць.

Якщо  і - числа, А і  В - однотипні матриці, то вірні такі дії:

де А - нульова матриця.

 Множення матриці A на матрицю B можливе лише тоді, коли кількість стовпчиків матриці A дорівнює кількості рядків матриці B. Якщо перша матриця має n рядків і  m стовпчиків, а друга – k рядків і p стовпчиків, то множення  можливе, якщо m=k.

Помножимо кожний рядок матриці A на кожний стовпчик матриці B_. Одержані добутки запишемо у вигляді матриці  С розміром n*p. А саме, кожний стовпчик матриці C складемо із добутків всіх рядків матриці A на відповідний стовпчик матриці B Довільний рядок C складається із добутків рядка матриці А яка має той же номер, на всі стовпчики В_. Таким чином, елементи матриці  обчислюються за формулами

Множення матриць не є комутативним. Це означає, що від перестановки множників може змінитись добуток.

Оскільки множення матриць некомутативне, то вводяться поняття “множення даної матриці   на матрицю  зліва”; ”множення матриці  на матрицю  справа”.

  З правил множення матриць випливає, що квадратні матриці можна перемножувати у довільному порядку. Але це ще не означає, що результат множення буде одним і тим же. Для однотипних квадратних матриць  і  вірне таке твердження: визначник добутку двох однотипних квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників.

   Матриця, у якої відмінні від нуля лише елементи, що знаходяться на діагоналі, називається діагональною. При цьому не обов’язково, щоб всі діагональні елементи були відмінними від нуля, деякі з них можуть бути і нулями.

Порядком квадратної матриці називається кількість її рядків (або стовпчиків, або діагональних елементів).

Матриці бувають неособливі  (несингулярні, невироджені), та особливі (сингулярні, вироджені).

Для даної квадратної матриці А вводяться поняття оберненої матриці. Її позначають символом А .

   Матриця А (якщо вона існує) називається оберненою по відношенню до даної  матриці А, якщо

                               А=