Глава 9. Разные алгоритмы на графах

     9.1. Кратчайшие пути

     В этом разделе рассматриваются различные варианты одной за-
дач. Пусть имеется n городов, пронумерованных числами от 1 до n.
Для каждой пары городов с номерами i, j в таблице  a[i][j]  хра-
нится  целое число - цена прямого авиабилета из города i в город
j. Считается, что рейсы существуют между любыми городами, a[i,i]
= 0 при всех i, a[i][j] может отличаться от  a[j,i].  Наименьшей
стоимостью проезда из i в j считается минимально возможная сумма
цен  билетов  для маршрутов (в том числе с пересадками), ведущих
из i в j. (Она не превосходит a[i][j], но может быть меньше.)

     В предлагаемых ниже задачах требуется найти наименьшую сто-
имость проезда для некоторых пар городов при тех или иных  огра-
ничениях на массив a и на время работы алгоритма.

     9.1.1.  Предположим, что не существует замкнутых маршрутов,
для которых сумма цен отрицательна. Доказать, что в этом  случае
маршрут с наименьшей стоимостью существует.

     Решение. Маршрут длиной больше n всегда содержит цикл,  по-
этому минимум можно искать среди маршрутов длиной не более n,  а
их конечное число.

     Во всех следующих задачах предполагается,  что  это условие
(отсутствие циклов с отрицательной суммой) выполнено.

     9.1.2. Найти наименьшую стоимость проезда из 1-го города во
все остальные за время O(n в степени 3).

     Решение. Обозначим через МинСт(1,s,к) наименьшую  стоимость
проезда из 1 в s менее чем с k  пересадками.  Тогда  выполняется
такое соотношение:

   МинСт (1,s,k+1) = наименьшему из чисел МинСт(1,s,k) и
                     МинСт(1,i,k) + a[i][s] (i=1..n)

Как отмечалось выше, искомым ответом является  МинСт(1,i,n)  для
всех i=1..n.

     k:= 1;
     for i := 1 to n do begin x[i] := a[1][i]; end;
     {инвариант: x[i] := МинСт(1,i,k)}
     while k <> n do begin
     | for s := 1 to n do begin
     | | y[s] := x[s];
     | | for i := 1 to n do begin
     | | | if y[s] > x[i]+a[i][s] then begin
     | | | | y[s] := x[i]+a[i][s];
     | | | end;
     | | end
     | | {y[s] = МинСт(1,s,k+1)}
     | | for i := 1 to n do begin x[s] := y[s]; end;
     | end;
     | k := k + 1;
     end;

Приведенный  алгоритм называют алгоритмом динамического програм-
мирования, или алгоритмом Форда - Беллмана.

     9.1.3. Доказать, что программа останется  правильной,  если
не заводить массива y, а производить изменения в самом массиве x
(заменив в программе все вхождения буквы y на x и затем  удалить
ставшие лишними строки).

     Решение. Инвариант будет таков:
     МинСт(1,i,n) <= x[i] <= MинСт(1,i,k)

     Этот алгоритм может быть улучшен в двух  отношениях:  можно
за то же время O(n в степени 3) найти наименьшую стоимость  про-
езда i->j для ВСЕХ пар i,j (а не только с i=1), а  можно  сокра-
тить время работы до O(n в степени 2). Правда, в последнем  слу-
чае нам потребуется, чтобы все цены a[i][j] были неотрицательны.

     9.1.4. Найти наименьшую стоимость проезда i->j для всех i,j
за время O(n в степени 3).

     Решение. Для k = 0..n через А(i,j,k)  обозначим  наименьшую
стоимость маршрута из i в j, если в качестве пересадочных разре-
шено использовать только пункты с номерами не больше k. Тогда

     A(i,j,0) = a[i][j],
а
     A(i,j,k+1) = min (A(i,j,k), A(i,k+1,k)+A(k+1,j,k))

(два  варианта  соответствуют  неиспользованию  и  использованию
пункта k+1 в качестве пересадочного; отметим, что в нем  незачем
бывать более одного раза).
     Этот алгоритм называют алгоритмом Флойда.

     9.1.5.  Известны,  что  все  цены неотрицательны. Найти на-
именьшую стоимость проезда 1->i для всех i=1..n за время  O(n  в
степени 2).

     Решение. В процессе работы алгоритма некоторые города будут
выделенными (в начале - только город 1,  в  конце  -  все).  При
этом:

     для каждого выделенного города i хранится  наименьшая  сто-
имость пути 1->i; при этом известно, что минимум достигается  на
пути, проходящем только через выделенные города;
     для каждого невыделенного города i хранится наименьшая сто-
имость пути 1->i, в котором в качестве промежуточных используют-
ся только выделенные города.

     Множество  выделенных городов расширяется на основании сле-
дующего замечания: если среди всех  невыделенных  городов  взять
тот,  для которого хранимое число минимально, то это число явля-
ется истинной наименьшей стоимостью. В самом  деле,  пусть  есть
более  короткий  путь.  Рассмотрим  первый невыделенный город на
этом пути - уже до него путь длиннее! (Здесь существенна неотри-
цательность цен.)
     Добавив выбранный город к выделенным, мы должны  скорректи-
ровать информацию, хранимую для невыделенных городов.  При  этом
достаточно учесть лишь пути, в которых новый город является пос-
ледним пунктом пересадки, а это легко сделать, так как минималь-
ную стоимость проезда в новый город мы уже знаем.
     При самом бесхитростном способе хранения множества выделен-
ных городов (в булевском векторе)  добавление  одного  города  к
числу выделенных требует времени O(n).
     Этот алгоритм называют алгоритмом Дейкстры.

     Отыскании кратчайшего пути имеет естественную интерпретацию
в терминах матриц. Пусть A - матрица цен одной аваиакомпании,  а
B  -  матрица цен другой. (Мы считаем, что диагональные элементы
матриц равны 0.) Пусть мы хотим лететь с одной пересадкой,  при-
чем  сначала самолетом компании A, а затем - компании B. Сколько
нам придется заплатить, чтобы попасть из города i в город j?

     9.1.6. Доказать, что эта  матрица  вычисляется  по  обычной
формуле  для произведения матриц, только вместо суммы надо брать
минимум, а вместо умножения - сумму.

     9.1.7. Доказать, что таким образом определенное  произведе-
ние матриц ассоциативно.

     9.1.8. Доказать, что задача о кратчайших путях эквивалентна
вычислению "бесконечной степени" матрицы  цен  A:  в  последова-
тельности  A, A*A, A*A*A,... все элементы, начиная с некоторого,
равны искомой матрице стоимостей кратчайших путей. (Если нет от-
рицательных циклов!)

     9.1.9.  Начиная  с  какого элемента можно гарантировать ра-
венство в предыдущей задаче?

     Обычное  (не  модифицированное) умножение матриц тоже может
оказаться полезным, только матрицы  должны  быть  другие.  Пусть
есть не все рейсы (как в следующем разделе), а только некоторые,
a[i,j]  равно  1,  если рейс есть, и 0, если рейса нет. Возведем
матрицу a (обычным образом) в степень k и посмотрим на ее i-j-ый
элемент.

     9.1.10. Чему он равен?

     Ответ. Числу различных способов попасть  из  i  в  j  за  k
рейсов.

     Случай,  когда есть не все рейсы, можно свести к исходному,
введя фиктивные  рейсы  с  бесконечно  большой  (или  достаточно
большой)  стоимостью. Тем не менее возникает такой вопрос. Число
реальных рейсов может быть существенно меньше n*n, поэтому инте-
ресны алгоритмы, которые работают эффективно в  такой  ситуации.
Исходные  данные  естественно  представлять тогда в такой форме:
для каждого города известно число выходящих из него  рейсов,  их
пункты назначения и цены.

     9.1.11.  Доказать,  что алгоритм Дейкстры можно модифициро-
вать так, чтобы для n городов и k маршрутов он требовал не более
C*(n+k log n) операций.
     Указание. Что надо сделать на каждом шаге? Выбрать  невыде-
ленный город с минимальной стоимостью и скорректировать цены для
всех  городов,  в  которые из него есть маршруты. Если бы кто-то
сообщал нам, для какого города стоимость минимальна, то  хватило
бы C*(n+k) действий. А поддержание сведений о том, какой элемент
в  массиве  минимален  (см. задачу 6.4.1 в главе о типах данных)
обходится еще в множитель log n.

     9.2. Связные компоненты, поиск в глубину и ширину

     Наиболее простой случай задачи о кратчайших  путях  -  если
все цены равны 0 или бесконечны. Другими словами, мы интересуем-
ся  возможностью попасть из i в j, но за ценой не постоим (и она
нас не интересует). В других терминах: мы имеем  ориентированный
граф (картинку из точек, некоторые из которых соединены стрелка-
ми) и нас интересуют вершины, доступные из данной.

     Для  этого  случая  задачи о кратчайших путях приведенные в
предыдущем разделе алгоритмы - не наилучшие. В самом деле, более
быстрая  рекурсивная  программа  решения этой задачи приведена в
главе 7 (Рекурсия), а нерекурсивная - в главе 6  (Типы  данных).
Сейчас  нас  интересует  такая задача: не просто перечислить все
вершины, доступные из данной, но перечислить их  в  определенном
порядке. Два популярных случая - поиск в ширину и в глубину.

     Поиск в ширину: надо перечислить все вершины  ориентирован-
ного графа, доступные из данной, в порядке увеличения длины пути
от нее. (Тем самым мы решим задачу о кратчайших путях, кода цены
ребер равны 1 или бесконечны.)

     9.2.1.  Придумать  алгоритм  решения  этой  задачи с числом
действий не более C*(число ребер, выходящих из интересующих  нас
вершин).

     Решение.  Эта  задача  рассматривалась в главе 6 (Типы дан-
ных), 6.3.7 - 6.3.8. Здесь мы приведём подробное решение.  Пусть
num[i]  -  количество  ребер,  выходящих  из  i,  out[i][1],...,
out[i][num[i]] - вершины, куда ведут ребра. Вот программа,  при-
ведённая ранее:

  procedure Доступные (i: integer);
  |   {напечатать все вершины, доступные из i, включая i}
  | var  X: подмножество 1..n;
  |      P: подмножество 1..n;
  |      q, v, w: 1..n;
  |      k: integer;
  begin
  | ...сделать X, P пустыми;
  | writeln (i);
  | ...добавить i к X, P;
  | {(1) P = множество напечатанных вершин; P содержит i;
  |  (2) напечатаны только доступные из i вершины;
  |  (3) X - подмножество P;
  |  (4) все напечатанные вершины, из которых выходит
  |      ребро в ненапечатанную вершину, принадлежат X}
  | while X непусто do begin
  | | ...взять какой-нибудь элемент X в v;
  | | for k := 1 to num [v] do begin
  | | | w := out [v][k];
  | | | if w не принадлежит P then begin
  | | | | writeln (w);
  | | | | добавить w в P;
  | | | | добавить w в X
  | | | end;
  | | end;
  | end;
  end;

Тогда нам было безразлично, какой именно элемент множества X вы-
бирается. Если мы будем считать X очередью (первым пришел - пер-
мым ушел), то эта программа напечатает все вершины, доступные из
i, в порядке возрастания их расстояния  от  i  (числа  ребер  на
кратчайшем пути из i). Докажем это.

     Обозначим  через V(k) множество всех вершин, расстояние ко-
торых от i (в описанном смысле) равно k. Имеет место такое соот-
ношение:

 V(k+1) = (концы ребер с началами в V(k))-V(0)-V(1)-...-V(k)

(знак "-" обозначает вычитание множеств). Докажем, что для любо-
го k=0,1,2... в ходе работы программы будет такой момент  (после
очередной итерации цикла while), когда

     в очереди стоят все элементы V(k) и только они
     напечатаны все элементы V(1),...,V(k)

(Для  k=0  - это состояние перед циклом.) Рассуждая по индукции,
предположим, что в очереди скопились все элементы V(k). Они  бу-
дут  просматривать  в  цикле,  пока не кончатся (поскольку новые
элементы добавляются в конец, они не перемешаются  со  старыми).
Концы  ведущих из них ребер, если они уже не напечатаны, печата-
ются и ставятся в очередь - то есть всё как  в  записанном  выше
соотношении для V(k+1). Так что когда все старые  элементы  кон-
чатся, в очереди будут стоять все элементы V(k+1).

     Поиск в глубину.

     Рассматривая поиск в глубину, удобно представлять себе ори-
етированный граф как образ дерева. Более точно, пусть есть  ори-
ентированный граф, одна из вершин которого выделена. Будем пола-
гать,  что все вершины доступны из выделенной по ориентированным
путям. Построим дерево, которое можно было бы  назвать  "универ-
сальным  накрытием"  нашего  графа.  Его корнем будет выделенная
вершина графа. Из корня выходят те же стрелки, что и в  графе  -
их  концы  будут  сыновьями корня. Из них в дереве выходят те же
стрелки, что и в графе и так далее. Разница между графом и дере-
вом  в  том, что пути в графе, ведущие в одну и ту же вершину, в
дереве "расклеены". В других терминах: вершина дерева - это путь
в графе, выходящий из корня. Ее сыновья - это пути, продолженные
на одно ребро. Заметим, что дерево бесконечно, если в графе есть
ориентированные циклы.
     Имеется  естетвенное  отображение  дерева  в граф (вершин в
вершины). При этом каждая вершина графа имеет  столько  прообра-
зов,  сколько путей в нее ведет. Поэтому обход дерева (посещение
его вершин в том или ином порядке) одновременно является и обхо-
дом графа - только каждая вершина посещается многократно.

     Будем предполагать, что для каждой вершины графа  выходящие
из  нее  ребра  упорядочены (напрмиер, пронумерованы). Тем самым
для каждой вершины дерева выходящие из нее ребра также  упорядо-
чены.  Будем обходить дерево так: сначала корень, а потом подде-
ревья (в порядке  ведущих  в  них  ребер).  Такой  обход  дерева
рассматривался  нами в главе о рекурсии. Ему соответствует обход
графа. Если выкинуть из этого обхода повторные посещения уже по-
сещенных вершин, то получится то, что называется "поиск в глуби-
ну".

     Другими словами: на путях, выходящих из выделенной вершины,
введем порядок: путь предшествует своему продолжению;  если  два
пути  расходятся  в некоторой вершине, то меньшим считается тот,
который выходит из нее по меньшему ребру. Вершины теперь  упоря-
дочиваются в соответствии с минимальными путями, в них ведущими.
Обход вершин графа ы указанном порядке называется поиском в глу-
бину.

     9.2.2. Написать программу поиска в глубину.
     Указание.  Возьмем  программу обхода дерева (корень - левое
поддерево - правое поддерево) из главы о рекурсии или  из  гравы
об  устранении  рекурсии  и используем ее применительно к обсто-
ятельствам. Главное изменение: не надо посещать вершины  повтор-
но.  Так что если мы попали в уже посещенную вершину, то можно с
ней ничего не делать. (Если путь не минимален  среди  ведущих  в
данную  вершину,  то  и  все  его продолжения не минимальны - их
просматривать не надо).

     Замечание. Существуют две возможности устранения рекурсии в
программе обхода дерева. Можно хранить в стеке корни  подлежащих
посещению  поддеревьев  (как  это делалось в главе об устранении
рекурсии). А можно применять метод из главы об обходе дерева, то
есть реализовать операции  "вверх_налево",  "вправо"  и  "вниз".
Чтобы их реализовать, необходимо хранить в стеке путь из корня к
текущей  вершине. Оба способа - примерно одинаковой сложности, и
в конкретной ситуации любой из них может оказаться  более  удоб-
ным.

     Поиск в глубину лежит в основе многих алгоритмов на графах,
порой в несколько модифицированном виде.

      9.2.3. Неориентированный граф называется двудольным,  если
его  можно  раскрасить в два цвета так, что концы любого ребра -
разного цвета. Составить алгоритм проверки, является ли заданный
граф двудольным (число действий не провосходит C*(число ребер  +
число вершин).

     Указание.  (а) Каждую связную компоненту можно раскрашивать
отдельно. (б) Выбрав цвет одной вершины и обходя ее связную ком-
поненту, мы определяем единственно возможный цвет остальных.

     Замечание.  В  этой задаче безразлично, производить поиск в
ширину или в глубину.

     9.2.4. Составить нерекурсивный алгоритм топологической сор-
тировки  ориентированного  графа без циклов. (См. задачу 7.4.2 в
главе о рекурсии.)

     Решение.  Предположим,  что  граф  имеет вершины с номерами
1..n, для каждой вершины i известно число  num[i]  выходящих  из
нее ребер и номера вершин dest[i][1],..., dest[i][num[i]], в ко-
торые эти ребра ведут. Будем условно считать, что ребра перечис-
лены "слева направо": левее то ребро, у которого  номер  меньше.
Нам надо напечатать все вершины в таком порядке, чтобы конец лю-
бого ребра был напечатан перед его началом. Мы предполагаем, что
в графе нет ориентированных циклов - иначе такое невозможно.
      Для начала добавим к графу вершину 0, из которой ребра ве-
дут в вершины 1,...,n. Если ее удастся напечатать с  соблюдением
правил, то тем самым все вершины будут напечатаны.

      Алгоритм  хранит путь, выходящий из нулевой вершины и иду-
щий по ребрам графа. Переменная l отводится для длины этого  пу-
ти.  Путь  образован  вершинами  vert[1],..., vert[l] и ребрами,
имеющими номера edge[1]...edge[l]. Номер edge[s] относится к ну-
мерации ребер, выходящих из вершины vert[s]. Тем самым для  всех
s должны выполняться неравенство
        edge[s] <= num[vert[s]]
и равенство
        vert[s+1] = dest [vert[s]] [edge[s]]
Впрочем,  для  последнего  ребра мы сделаем исключение, разрешив
ему указывать "в пустоту",  т.е.  разрешим
edge[l] равняться num[vert[l]]+1.

     В  процессе  работы  алгоритм будет печатать номера вершин,
при этом соблюдая требование "вершина  напечатана  только  после
тех вершин, в которые из нее ведут ребра". Наконец, будет выпол-
няться такое требование:

(И)     вершины  пути, кроме последней (т.е. vert[1]..vert[l])
        не напечатаны, но свернув с пути налево, мы немедленно
        упираемся в напечатанную вершину

Вот что получается:

        l:=1; vert[1]:=0; edge[1]:=1;
        while not( (l=1) and (edge[1]=n+1)) do begin
        | if edge[l]=num[vert[l]]+1 then begin
        | | {путь кончается в пустоте, поэтому все вершины,
        | |     следующие за vert[l], напечатаны - можно
        | |     печатать vert[l]}
        | | writeln (vert[l]);
        | | l:=l-1; edge[l]:=egde[l]+1;
        | end else begin
        | |  {edge[l] <= num[vert[l]], путь кончается в
        | |     вершине}
        | |  lastvert:= dest[vert[l]][edge[l]]; {последняя}
        | |  if lastvert напечатана then begin
        | |  | edge[l]:=edge[l]+1;
        | |  end else begin
        | |  | l:=l+1; vert[l]:=lastvert; edge[l]:=1;
        | |  end;
        | end;
        end;
        {путь сразу же ведет в пустоту, поэтому все вершины
         левее, то есть 1..n, напечатаны}

     9.2.4. Доказать, что если в графе нет циклов, то этот алго-
ритм заканчивает работу.

     Решение. Пусть это не так. Каждая вершина может  печататься
только  один раз, тако что с некоторого момента вершины не печа-
таются. В графе без циклов длина пути ограничена (вершина не мо-
жет входить дважды), поэтому подождав еще,  мы  можем  дождаться
момента,  после  которого  путь не удлиняется. После этого может
разве что увеличиваться edge[l] - но и это не беспредельно.