Предисловие

Терминология и обозначения

Пусть дана случайная величина X с областью значений R_X (иногда ее называют спектром). Здесь рассматриваются лишь два типа спектров:

• совокупность действительных чисел – вся, или луч [0,), или отрезок [a,b];
• совокупность целых чисел – вся, или лишь натуральные числа, или отрезок натуральных чисел от 0 до n.

Когда спектром случайной величины является подмножество действительных чисел, ее называют непрерывной. Если же спектр – подмножество целых чисел, случайная величина дискретна.

Функция распределения F случайной величины X определяется равенством

F(x) = Pr{X < x}, где xR_X, F(x)[0,1].

Легко убедиться в том, что F(x) не убывает. Как правило, функцию распределения непрерывной случайной величины саму называют непрерывной, то же и для дискретной.

Функции распределений всех непрерывных случайных величин, встречающихся в стандартных статистических моделях, непрерывно дифференцируемы. Производная f(x), если она существует, называется плотностью вероятности. Дискретная случайная величина принимает дискретные значения x с вероятностями f(x). Функция f(x) в этом случае называется функцией вероятности, а иногда – функцией массы.

Значение x, для которого F(x) = p, называется p-квантилем (впрочем, для этого термина используется и женский род). Функция G(p), ставящая в соответствие каждому p из [0,1] квантиль x из R_X, называется обратной функцией распределения. Обратите внимание на некоторые трудности, возникающие при вычислении квантилей дискретных случайный величин; лично я предпочитаю в подобных случаях самое правое из тех x, для которых F(x) = p. Кроме того, квантили дискретных функций распределения существуют не для всех p, что вызывает известные трудности при построении критериев проверки статистических гипотез.

Содержание

В этом справочнике рассмотрены наиболее часто встречающиеся одномерные распределения: для каждого приведено определение, а также среднее и дисперсия, если они выражаются через элементарные функции. Во всех сколько-нибудь нетривиальных случаях указывается также способ вычисления самой функции распределения и ее квантилей. Кроме того, приводятся способы генерации (псевдо)случайных чисел, подчиняющихся рассматриваемым распределениям.

В справочнике используется единая терминология, согласованная с глоссарием статистических терминов.

Отдельно следует сказать о приводимых кодах на С++. Прежде всего, эти коды принимает MSVC v.6; я надеюсь, что их без проблем «сглотнут» и другие компиляторы. Реализованные методы вычисления я довольно давно использую в своей статистической практике; во всех задачах, с которыми я сталкивался, они оказались работоспособными. Тем не менее, коды предназначены служить лишь как иллюстрацией того, как можно реализовать вычисления. В «боевой» обстановке следует использовать специальные библиотеки, тщательно спланированные и адекватно тестированные. Приведу здесь лишь две ссылки:

• библиотека CEPHES специальных математических функций (в том числе, функций распределения). Впервые она описана в книге Stephen L. Moshier, Methods and Programs for Mathematical Functions, Prentice-Hall, 1989; с тех пор вышло довольного ее версий. Библиотека содержит большое количество тщательно проверенных функций на Си, для каждой из которых приводится точность вычислений, оцененная в плавающей арифметике с 144 битами (43 десятичных знака). Библиотека разработана так, чтобы в возможно меньшей степени зависеть от используемого компилятора и/или платформы. Например, числовые константы задаются в виде целых массивов – это позволяет избежать потерь точности при преобразовании констант во время компиляции. Я скачивал ее с адреса http://www.netlib.org/cephes, хотя она имеется еще во множестве мест; см., например, еще http://people.ne.mediaone.net/moshier/index.html. Поскольку, однако, адреса в Интернете часто меняются, я помещаю копию библиотеки здесь, хотя она и занимает более 1800 Кб;



• библиотека DCDFLIB, содержащая функции на Си, которые предназначены для вычисления основных функций распределения и их квантилей. Я скачивал ее с адреса ftp://odin.mdacc.tmc.edu/pub/source/dcdflib.c-1.1.tar.gz. И снова, я помещаю здесь копию библиотеки.

Неисчерпаемым источником идей и методов генерации случайных чисел является глава "Получисленные алгоритмы" из второго тома великой работы Д.Кнута "Искусство программирования для ЭВМ" (D.E.Knuth, The Art of Computer Programming, v.2, ch.3: "Seminumerical Algorithms").

Конечно, имеется достаточно много специализированных библиотек с функциями, генерирующими случайные числа, проверяющими их и т.д. и т.п. Примером может служить библиотека randlib, содержащая генераторы случайных чисел для основных распределений, имеется в двух версиях - на Си и на Фортране. Довольно старомодные коды, которые зато дают довольно хорошие числа. «До кучи» помещаю версию 1.3 этой библиотеку здесь, в пределах досягаемости.

Источники

Должно быть ясно, что подобный справочник непременно компилятивен. Здесь я с удовольствием перечислю книжки, использованные чаще других.

Н.Хастингс, Дж.Пикок. Справочник по статистическим распределениям. М.: Статистика, 1980.

Л.Н.Большев, Н.В.Смирнов. Таблицы математической статистики. Вычислительный центр АН СССР. М. 1968.

Помимо собственно таблиц содержит удивительно много разнообразной информации, изложенной удивительно емко. Классический труд!

М.Абрамовиц, И.Стиган. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

Неисчерпаемый кладезь всевозможной информации, тщательно отобранной и качественно систематизированной. С удовольствием рекомендую всем, кто хочет заняться численными методами.

Без всякого удовольствия считаю себя обязанным предостеречь от некритического использования методов, описываемых в широко известной книжке W.H.Press и др. “Numerical Recipes in C”. Все описанные в ней методы, которые я исследовал, оказались плохими или неработоспособными. Скажем, предложенные приемы вычисления цепных дробей неизменно приводили в моих экспериментах к переполнению, либо к результатам, далеко уклоняющимся от верных. Мнение специалистов в других областях см., например, в статье Why not use Numerical Recipes?.

Дата последней модификации: 10 октября 2000 г.