Распределение хи-квадрат

Обозначение
Область значений
Параметры	f – параметр формы, целое положительное число; его часто называют числом степеней свободы.
Плотность (функция вероятности)	, где – гамма-функция
Математическое ожидание	f
Дисперсия	2f
Функция распределения	Не выражается в элементарных функциях

Связь с другими распределениями

1. Хи-квадрат с f степенями свободы совпадает с гамма-распределением с параметром масштаба 2 и параметром формы f/2. То же распределение можно получить, удвоив случайную величину, подчиняющуюся гамма-распределению с параметром масштаба 1 и параметром формы f/2: .

Это соотношение позволяет вычислять функцию распределения хи-квадрат.
2. Если и – независимые случайные величины, распределенные как хи-квадрат с v и w степенями свободы соответственно, то случайная величина / подчиняется F-распределению с v и w степенями свободы.
3. Если случайная величина  имеет F-распределение с v и степенями свободы, то случайная величина распределена как хи-квадрат с v степенями свободы.
4. Если случайная величина  подчиняется T-распределениюСтьюдента с f степенями свободы, а – стандартному нормальному распределению, причем и независимы, то случайная величина распределена как хи-квадрат с f степенями свободы.
5. Распределение хи-квадрат с f степенями свободы связано с распределением Пуассона с параметром x/2 следующим соотношением:
6. Распределение хи-квадрат с f степенями свободы совпадает с распределением суммы квадратов f независимых случайных величин, распределенных нормально с параметрами 0 и 1.
7. При f > 30 случайная величина , распределенная как хи-квадрат с f степенями свободы, распределена приблизительно так же, как поделенный пополам квадрат нормальной случайной величины с единичной дисперсией и средним .
8. Пусть даны n независимых случайных величин , i=1..n, распределенных нормально с параметрами и . Сумма квадратов их отклонений от среднего арифметического, деленная на ², распределена как хи-квадрат с n-1 степенями свободы. То же самое по другому. Если  и s² определить стандартным образом, то

Генерация случайных чисел

Если r_i распределены равномерно на [0,1], а подчиняется стандартному нормальному распределению, то при четных f случайная величина распределена как хи-квадрат с f степенями свободы, а при нечетных f так распределена величина . Случайная величина распределена как хи-квадрат с одной степенью свободы.

Вычисление функции распределения и ее квантилей

Распределение хи-квадрат с f степенями свободы совпадает, как уже говорилось выше с гамма-распределением с параметром масштаба 2 и параметром формы f/2: . Это соотношение и использовано в приводимых ниже кодах.

Файл chi2DF.h

#ifndef __CHI2_H__

#define ENTRY   extern
#define	LOCAL	static

double chi2DF(double n, double x);
double inv_chi2DF(double n, double x);

#define	 __CHI2_H__
#endif              /* Ends #ifndef __CHI2_H__  */

Файл chi2DF.cpp

#include <assert.h>
#include <math.h>

#include "gammaDF.h"

ENTRY double
chi2DF(double f, double x)
/*
 * Вычисляется вероятность того, что случайная величина,
 * подчиняющаяся распределению хи-квадрат с f степенями свободы,
 * не превосходит заданного значения x.
 */
{
   assert(f > 0);
   return GammaDF(f/2.0).value(x/2.0);
}/*chi2DF*/

ENTRY double
inv_chi2DF(double f, double q)
/* Вычисляется значение х для которого chi2DF(f, x) вернет q.
 */
{
   assert(f > 0);
   return GammaDF(f/2.0).quantile(q);
}/*inv_chi2DF*/