При написании фрагментов программ использовались основные конструкции языка Turbo Pascal (ветвления, циклы).
1. ПЕРЕМЕННЫЕ, ВЫРАЖЕНИЯ, ПРИСВАИВАНИЯ. 

1.1 ЗАДАЧИ БЕЗ МАССИВОВ. 

Задача 1.  
Дано число а и натуральное число n. 
Вычислить аn (a в степени n). 

Решение: 

k:=0;b:=1; 
while k<>n do  
  begin 
       k:=k+1; b:=b·a;
   end;
Другое решение этой задачи: 
k:=n;b:=1; 
while k<>0 do 
 begin 
k:=k-1; 
b:=b·a; 
 end;
Число выполняемых операторов присваивания равно n. 

Задача 2.  
Решить предыдущую задачу, если требуется, чтобы число действий (выполняемых операторов присваивания) было порядка log2 n (то есть не превосходило бы C(log2 n, где С -константа, log2 n - это степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить n). 

Решение: 

k:=n;b:=1;c:=a; 
while k<>0 do 
 begin 
if k mod 2=0 
then 
begin k:=k div 2; c:=c·c; end  
else 
begin k:=k-1; b:=b·c; end; 
 end;
За каждые два вхождения в цикл значение переменной k уменьшается по крайней мере вдвое. В цикле выполняется 2 операции присваивания. Поэтому общее число действий не превосходит 4·log2 n. 

Задача 3.  
Дано натуральное число n, вычислить n! (1!=1, n!=n((n-1)!). 

Решение: 

k:=n;b:=1; 
while k<>0 do 
 begin  
b:=b·k; 
k:=k-1; 
 end;
Задача 4.  
Дано натуральное n, вычислить 1/1!+...+1/n! так, чтобы число операций (выполняемых команд присваивания) было бы порядка n (не более C·n для некоторой константы С). 

Решение:  
Важно не вычислять заново каждый раз n!. 
n!=1·2·3·...·(n-1)·n=(n-1)!·n. В нашем примере 1/n!=1/((n-1)!·n), т.е. каждый j элемент получается делением (j-1)-го элемента на j. 

k:=1; sum:=0; last:=1; {1/1!} 
while k<=n do 
begin 
sum:=sum+last; 
k:=k+1; 
last:=last/k; 
end;
Число выполняемых операций присваивания равно 3·n. 

Задача 5. 
Даны два натуральных числа а и b, не равные нулю одновременно. Вычислить d=НОД(а,b) - наибольший общий делитель а и b. 

Решение:  
Алгоритм Евклида. Будем считать, что 

1) НОД(0,0)=0; 
2) НОД(а,b)=НОД(а-b,b)=НОД(а,b-а); 
3) НОД(а,0)=НОД(0,а)=а
для всех а,b>=0. 
(см. Основы информатики и вычислительной техники, часть 1, под ред. А.П. Ершова и В.М. Монахова или А.Г. Кушниренко и др. Основы информатики и вычислительной техники) 
m:=a;n:=b; 
while not ((m=0) or (n=0)) do 
if m>=n then m:=m-n else n:=n-m; 
if m=0 then d:=n else d:=m;
Задача 6.  
Даны два натуральных числа а и b, не равные нулю одновременно. Найти d=НОД(а,b) и такие x и y, что d=a·x+b·y. 

Решение:  
Добавим переменные p,q,r,s такие, что m=p·a+q·b, n=r·a+s·b. 

m:=a; n:=b; p:=1; q:=0; r:=0; s:=1; 
while not ((m=0) or (n=0)) do 
if m>=n 
then 
begin m:=m-n; p:=p-r; q:=q-s; end 
else 
begin n:=n-m; r:=r-p; s:=s-q; end; 
if m=0 
then 
 begin k:=n; x:=r; y:=s; end 
else 
 begin k:=m; x:=p; y:=q; end;
Задача 7. 
Даны натуральные числа n и k, n>1. Напечатать k десятичных знаков числа 1/n. Программа должна использовать только целые переменные. 
Решение: 
Сдвинув в десятичной записи числа 1/n запятую на k мест вправо, получим число (10k)/n. Нам надо напечатать его целую часть, то есть разделить 10k на n нацело. Стандартный способ требует использования больших по величине чисел, которые могут выйти за границы диапазона представимых чисел. 
Воспользуемся методом "деления уголком" и будем хранить "остаток" r. 
t:=0; r:=1; 
while t<>k do 
begin 
write((10·r) div n); 
r:=(10·r) mod n; 
t:=t+1; 
end;
Задача 8. 
Функция f с натуральными аргументами и значениями определена так: f(0)=0, f(1)=1, f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+f(n+1). Составить программу вычисления f(n) по заданному n, требующую порядка log2 n операций (не более C·log2 n). 

Решение: 
Функцию f можно записать в общем виде: f(n)=a(f(k)+b(f(k+1). 
Если n - четное, то а=1, b=0 иначе а=1, b=1. 
Для k=2m: f(k)=f(m), f(k+1)=f(2m+1)=f(m)+f(m+1). Тогда 
f(n)=a·f(k)+b·f(k+1)=a·f(m)+b·(f(m)+f(m+1))=(a+b)·f(m)+b·f(m+1). 
Для k=2m+1: f(k)=f(m)+f(m+1), f(k+1)=f(2m+2)=f(2(m+1))=f(m+1). 
Тогда f(n)=a·f(k)+b·f(k+1)=a·f(m)+(a+b)·f(m+1). 

k:=n; a:=1; b:=0; 
while k<>0 do 
if k mod 2=0 
then begin m:=k div 2; a:=a+b; k:=m; end 
else begin m:=k div 2; b:=a+b; k:=m; end; 

{k=0: f(n)=af(0)+bf(1)=b, что и требовалось}

При каждом вхождении в цикл значение переменной k уменьшается вдвое. 
Поэтому число операций не более 3·log2 n. 

УПРАЖНЕНИЯ: 

1. Последовательность Фибоначчи определяется так: a0=0, a1=1, ak=ak-1+ak-2 при k>=2. 
Дано n. Вычислить an. Число операций должно быть порядка log2 n. 
2. Написать вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения 
НОД(2a,2b)=2НОД(a,b) 
НОД(2a,b)=НОД(a,b) при нечетном b, использующий лишь деление на 2 и проверку четности. Число действий должно быть порядка log2 n для исходных данных, не превосходящих n. 
3. Функция f определена так: f(0)=13, f(1)=17, f(2n+1)=43f(n)+57f(n+1), 
f(2n+2)=91f(n)+179f(n+1) при n>=1.